未来の数学の哲学

数学の哲学は、その研究対象と同様に時間を超越した永遠性を求めるあまり、物理学の発展が数学の基本概念を変えうることを考慮に入れていません。科学における数学の成功は、現在の科学的世界観からすると極めて不思議なものです（つまりこの世界観はおそらく正しくないということです）。もしこの成功がなければ、数学全体の捉え方はチェスゲームのように、つまり宇宙の基礎にある永遠の真理としてではなく、恣意的なものとして捉えられていたでしょう。数学は、思考の高次元レベルにも表れる基本的な物理的真理を発見する一種の物理実験として捉えることができます。つまり、宇宙の特定の水平的なスケールに限定されない物理法則であり、宇宙のすべてのスケールを垂直に貫くものです。そのため、私たちの思考レベルでもアクセス可能で、脳内で素粒子レベルの物理実験を行い、宇宙の秘密に迫ることができるのです

著者：計算はまだ終わっていない

数学が完全な精神的宇宙を創造する能力は、実際には物理学に依存しているのでしょうか？ (出典)

愛は素晴らしい人間の発明品です - おそらく精神世界を除けば、文化の最も美しい発明かもしれません - しかしそれは生物学の発明ではありません。芸術が素晴らしい発明だからといって、それが生物学の発明だということにはならないのと同じです。したがって、脳と知能の科学的解明を超えて - たとえそれが成功したとしても - 多くの知能間の相互作用の産物である文化、つまり想像された世界を科学的に解明するという課題が残されています。

しかし、そもそもなぜ宇宙にそのような世界が存在しうるのでしょうか？物理的な世界に精神世界が存在することを可能にしているものは何でしょうか？それは数学のおかげです。なぜシンボリックな次元が存在するのでしょうか？それは情報が世界の物理的基盤だからです。なぜ世界に情報が存在するのでしょうか？なぜ表現能力が存在するのでしょうか？それは0と1の間に違いがあるからです。つまり、二つの状態間の安定した（アナログではない）違いがあり、量子的に突然変化したり、0と1の区別がつかなくなるほど混ざり合ったりすることがないからです。

量子論が正しければ、0が1に等しくなり、私たちのすべての検証で0が1に等しいという結果が出る小さな可能性があります。その可能性は検証を重ねるごとに無限に小さくなりますが、ゼロではありません。つまり、誤った証明が正しく、その逆もまた然りという可能性があるということです。したがって、この考察自体が間違っている可能性もあります。なぜなら、結論が0から1に飛躍する可能性があり、真から偽へと変化させるには1ビットで十分だからです。では、すべての数学者が間違える可能性があるのなら、なぜ数学自体は間違えることができないのでしょうか？長年にわたって、世界の基盤を法則から粒子へ、場から幾何学へと変換しようとする試みがありました。物理学をより内在的で、必然的で、美的で、構造自体から生じるものにしようとする試み、外部から押し付けられたものではないものにしようとする試みでした。これが数学にも起こりうるのでしょうか？

プロセッサと情報（メモリ、さらにはソフトウェア）の間のギャップは、二元論的な宇宙を生み出します - 一方、脳ではこれらは結合しています。ゲノムはコンピュータに似ているのか（ゲノムはメモリで、その上で細胞のコンピュータが動作する）、それとも脳のようでゲノムのメモリ自体がコンピュータなのか、という疑問が生じます。そして恐らく、コンピュータのような学習 - ゲノムのような - は脳の学習よりもはるかに遅く、そのため進化は文化よりも1000倍も時間がかかったのかもしれません（これが規模の順序です）。人類を生み出すのに数十億年、その文化を生み出すのに数百万年、人類を発展させるのに数百万年、その文化を発展させるのに数千年、文化を育てるのに数千年、子供を育てるのに数年、つまり脳の学習だけを通じてその文化の産物である人間を作り出すのです。したがって、宇宙はコンピュータというよりも脳のようなものかもしれません。つまり、数学は宇宙の下部基盤ではなく、その上位の産物かもしれないのです。

さらに - コンピュータと脳の間にはインターネットがあり、これは分散型ネットワークでありながらデジタルでもあります。つまり、脳とコンピュータの間の媒介的な媒体です。そして文化は、人間自身やコンピュータよりも、まさにそこに - 共有された想像空間に - その最も壮大な形で存在しています。この状況は、人工知能がシステムに追加されたとしても、おそらく継続するでしょう。人工知能を構築できる可能性があるということは、必ずしも人工文化を構築できることを意味しません。その逆も然りです。知的でない天才（または天才的な文学コンピュータ）を想像することもできます。文化は必ずしも知能を必要としません - 文化を必要とするのです。インターネットと同様に、物理学と数学の間に媒介的な媒体があり、そこに両者の結合が存在し、宇宙の内容が - 二つの法則体系の間に - 存在する可能性はあるでしょうか？実際、これが宇宙自体、あるいはコンピュータとしての宇宙 - つまりデータ、ソフトウェアを含み、物理学がプロセッサで数学がコンピュータ言語とその論理である - だと主張することができます。しかし、これは自然界の多くの結合の性質と同様に、数学と物理学を結びつけるネットワーク的な結合かもしれません - それらはネットワークなのです？

素数は宇宙について何か基本的なことを私たちに教えているのでしょうか？なぜなら、それは数学の中で最も原始的な場所で、単なる構造ではなく情報が存在しているように見えるからです。素数には情報が含まれているのでしょうか？一見すると、初期条件から導き出すことができるので、そうではないように見えます。しかし、それは容易ではありません。この困難さが意味するのは、一つのシステムで簡単に定義できることが、別のシステムでは簡単な定義に変換できないということです。つまり - 短い定義と長い証明（または定義）です。これは、同一の問題を扱うのにより適したシステムとそうでないシステムが存在することを意味します。数学と物理学は、実際にはそのような二つのシステムで、視点が異なるだけで宇宙の同じエンジンを扱っているのでしょうか？数学は、1が0と異なるという物理法則から生じているのでしょうか？

宇宙が（ガスのような）混沌ではなく複雑性に収束するためには、学習または設計から生じる微調整が必要です。物理学が私たちの宇宙が設計から生まれたことを証明する可能性はあるでしょうか？それとも学習からでしょうか？設計であれば、それは形而上学的な地震となり、科学が知的設計を証明し、世俗化の方向を逆転させることになりますが、これは確かに起こりうることです。同様のことが数学にも起こりうるでしょうか？数学は設計の産物なのでしょうか？それとも学習の産物でしょうか？あるいはさらに奇妙なもの - 論理的必然性でしょうか？論理的必然性とは実際には何を意味するのでしょうか？私たちの宇宙には数学を破ってはいけないという自然法則があるということ以外に、あるいは数学的実験は常に同じ結果になるということ以外に、1足す1は常に2になるということ以外に。そして例えば、なぜ宇宙では、太陽から銀河、そして宇宙全体に至るまで、対称性と円形の形状が支配的なのでしょうか？

πは10進数システムではノイズですが、他のシステムではそうではありません。もし宇宙全体が何らかの数学的パターンに従って整理されていることを発見したら - 例えば銀河が特定の方程式に従って配置されていたり、自然法則が何らかのアルゴリズムの結果であったりしたら - そのような陰謀の形而上学的な意味は何でしょうか？それとも、自然法則である時点でもはや陰謀ではないのでしょうか？私たちが合理的として受け入れられない自然法則は存在するのでしょうか？精神世界が物質世界よりも基本的であり、数学が世界の下にあり、物理法則の下に精神的な法則があると考えさせるような科学的・数学的革命がまだまだ起こりうるのです。結局のところ、私たちの認識は、その時代に物理学で発見される世界の基盤に関する知見の派生物です。法則があれば超越的な神が存在し（中世のアリストテレス的物理学における内在的な神とは対照的に）、粒子があれば神ではなく物質が存在します。そして世界の物理的基盤（弦理論の方向性のように）が数学である場合、神は純粋な精神となるのです。