미래 수학의 철학

수학 철학은 그 대상처럼 초시간적 영원성을 추구하면서도, 물리학의 발전이 수학의 기본 개념을 바꾸어 놓는다는 점을 고려하지 않습니다. 만약 과학에서의 성공이 없었다면 - 현재의 과학적 관점에서 보면 매우 이상한 일입니다 (즉, 이는 아마도 잘못된 그림일 것입니다) - 체스 게임처럼 수학에 대한 모든 인식이 달라졌을 것입니다. 즉, 우주의 기초가 되는 영원한 진리가 아닌 임의적인 것으로 여겨졌을 것입니다. 수학은 사고의 높은 차원에서도 표현되는 기본적인 물리적 진리를 발견하는 일종의 물리 실험으로 볼 수 있습니다. 즉, 우주의 특정 수평적 규모에 국한되지 않고 우주의 모든 규모를 수직으로 관통하는 물리 법칙이므로, 우리의 사고 수준에서도 접근 가능하며, 이를 통해 뇌에서 기본 입자 수준의 물리 실험을 수행하여 우주의 비밀을 파헤칠 수 있게 됩니다

수학이 완전한 정신적 우주를 창조할 수 있는 능력이 실제로는 물리학에 기반을 두고 있는 것일까요? (출처)

사랑은 놀라운 인간의 발명품입니다 - 아마도 정신세계를 제외하면 문화의 가장 아름다운 발명일 것입니다 - 하지만 이는 생물학의 발명품은 아닙니다. 예술이 놀라운 발명이라고 해서 그것이 생물학의 발명품이라는 의미는 아닌 것처럼 말입니다. 따라서, 뇌와 지능의 과학적 해독을 넘어서서, 설령 그것이 성공한다 하더라도 - 문화의 과학적 해독이라는 도전이 남아있습니다. 문화는 많은 지능들 간의 역학관계의 산물이며 - 상상의 세계입니다.

하지만 왜 우주에 이런 세계가 존재할 수 있는 걸까요? 물리적 세계에서 정신적 세계가 어떻게 가능한 걸까요? 그것은 수학 때문입니다. 왜 상징적 차원이 존재하는 걸까요? 정보가 세계의 물리적 기초이기 때문입니다. 왜 세상에 정보가 있을까요? 왜 표현 능력이 있을까요? 0과 1 사이에 차이가 있기 때문입니다. 즉, 두 상태 간의 안정적인 (아날로그가 아닌) 차이가 있어서, 양자적으로 갑자기 그 사이를 뛰어넘지 않고, 0과 1을 구별할 수 없을 정도로 섞이지도 않습니다.

만약 양자역학이 맞다면, 0이 갑자기 1과 같아질 작은 확률이 있고 우리의 모든 검증에서 0이 1과 같다고 나올 수 있습니다. 이 확률은 검증할 때마다 무한히 작아지지만 완전히 0은 아닙니다. 즉, 모든 잘못된 증명이 옳을 수 있고 그 반대도 가능하다는 뜻입니다. 따라서 이 모든 논리가 잘못되었을 수도 있습니다. 결론이 0에서 1로 뛰어넘을 수 있고, 진실을 거짓으로 바꾸는 데는 단 하나의 비트면 충분하기 때문입니다. 그렇다면 모든 수학자가 실수할 수 있다면 왜 수학은 실수할 수 없을까요? 세계의 기초를 법칙에서 입자로, 장에서 기하학으로 바꾸려는 오랜 시도가 있었습니다. 물리학을 더 내재적이고, 필연적이며, 미학적이고, 구조 자체에서 나오는 것으로 만들려는 시도였습니다. 외부에서 강요되는 것이 아닌. 이것이 수학에서도 일어날 수 있지 않을까요?

프로세서와 정보(메모리, 심지어 소프트웨어) 사이의 간극은 우리에게 이원론적 우주를 만들어냅니다 - 반면에 뇌에서는 이들이 연결되어 있습니다. 게놈이 컴퓨터와 비슷한지(게놈은 메모리이고 그 위에서 세포 컴퓨터가 작동하는) 아니면 뇌처럼 게놈의 메모리 자체가 컴퓨터인지 의문이 듭니다. 아마도 컴퓨터와 같은 종류의 학습 - 게놈처럼 - 은 뇌의 학습보다 훨씬 더 느려서, 진화가 문화보다 천 배 더 오래 걸린 것일 수 있습니다(이것이 규모의 차이입니다). 인간을 만드는 데 수십억 년이 걸린 반면 그의 문화를 만드는 데는 수백만 년이 걸렸고, 인간을 발전시키는 데 수백만 년이 걸린 반면 그의 문화를 발전시키는 데는 수천 년이 걸렸으며, 문화를 키우는 데 수천 년이 걸린 반면 단지 뇌의 학습을 통해 그 문화의 산물인 인간을 키우는 데는 몇 년밖에 걸리지 않습니다. 따라서 우주는 컴퓨터보다는 오히려 뇌와 같을 수 있습니다. 즉, 수학은 그것의 하부 기초가 아니라 상부 산물일 수 있습니다.

또한 - 컴퓨터와 뇌 사이에는 인터넷이 있는데, 이는 분산된 네트워크이면서도 디지털이어서, 뇌와 컴퓨터 사이의 중간 매체입니다. 그리고 바로 거기에 문화가 그 모든 영광스러운 모습으로 존재합니다 - 공유된 상상의 공간 - 인간 자신이나 컴퓨터보다 더욱 그렇습니다. 이는 인공지능이 시스템에 추가되더라도 계속 사실일 수 있습니다. 인공지능을 만들 수 있다는 사실이 인공문화를 만들 수 있다는 것을 의미하지는 않으며, 그 반대도 마찬가지입니다. 지능적이지 않은 천재(또는 천재적인 문학 컴퓨터)를 생각해볼 수도 있습니다. 문화는 반드시 지능을 필요로 하지 않습니다 - 문화만 있으면 됩니다. 인터넷처럼, 물리학과 수학 사이에도 중간 매체가 있을 수 있을까요? 그들 사이의 연결이 존재하고, 우주의 내용이 존재하는 - 두 법칙 체계 사이에서? 사실, 이것이 바로 우주 자체라고 주장할 수 있습니다. 또는 컴퓨터로서의 우주 - 즉, 데이터와 소프트웨어를 포함하여, 물리학이 프로세서이고 수학이 컴퓨터 언어와 논리인. 하지만 아마도 이는 오히려 수학과 물리학을 연결하는 네트워크적 연결일 수 있습니다. 자연의 많은 연결이 그러하듯이 - 네트워크라는 것처럼?

소수는 우주에 대한 어떤 기본적인 것을 우리에게 알려주나요? 왜냐하면 이것이 수학에서 단순한 구조가 아닌 정보가 있는 것처럼 보이는 가장 원초적인 곳이기 때문입니다. 소수에 정보가 있나요? 얼핏 보기에는 없습니다. 초기 조건에서 추론할 수 있기 때문입니다. 하지만 쉽지는 않습니다. 이 어려움의 의미는 한 시스템에서 쉽게 정의되는 것이 다른 시스템에서는 쉬운 정의로 번역되지 않는다는 것입니다. 즉 - 짧은 정의와 긴 증명(또는 정의). 이는 동일한 문제를 다루는 데 더 적합하고 덜 적합한 시스템이 있다는 것을 의미합니다. 수학과 물리학이 실제로 그런 두 시스템일까요? 관점만 다를 뿐 우주의 같은 엔진을 다루고 있는? 수학이 실제로 물리 법칙에서 나오는 걸까요? 그 법칙에 따르면 매번 새롭게 1이 0과 다르다는?

우주가 혼돈(가스처럼)이 아닌 복잡성으로 수렴하려면, 학습이나 설계에서 나오는 미세조정이 필요합니다. 물리학이 우리 우주가 설계에서 만들어졌다는 것을 증명할 수 있을까요? 아니면 학습에서? 설계는 형이상학적 지진이 될 것입니다. 과학이 지적 설계를 증명하고 세속화의 방향을 뒤집을 것이며, 이는 충분히 일어날 수 있습니다. 수학에서도 비슷한 일이 일어날 수 있을까요? 수학이 설계의 산물일까요? 아니면 학습의? 아니면 더 이상한 무언가 - 논리적 필연성? 논리적 필연성이 실제로 의미하는 것이 무엇일까요? 우리 우주에 수학을 위반해서는 안 된다는 자연법칙이 있다는 것 외에, 또는 모든 수학적 실험이 항상 같은 결과를 낼 것이라는 것, 하나 더하기 하나는 항상 둘이 될 것이라는 것 외에? 그리고 왜, 예를 들어, 우주에서는 대체로 대칭성과 원형이 지배적일까요? 태양에서 은하, 우주 전체에 이르기까지?

파이는 십진법 체계에서는 노이즈지만 다른 체계에서는 그렇지 않습니다. 만약 우리가 우주 전체가 어떤 수학적 패턴에 따라 정렬되어 있다는 것을 발견한다면, 예를 들어 은하들이 어떤 공식에 따라 자리잡고 있거나, 자연법칙이 어떤 알고리즘의 결과라면, 이런 음모의 형이상학적 의미는 무엇일까요? 아니면 그것이 자연법칙이 되는 순간 더 이상 음모가 아닌 걸까요? 우리가 합리적이라고 받아들일 수 없는 자연법칙이 있을까요? 정신세계가 물질세계보다 더 기본적이고, 수학이 세계의 밑바탕에 있으며, 물리적 법칙 아래에 정신적 법칙이 있다고 생각하게 만드는 많은 과학적, 수학적 혁명이 아직 일어날 수 있습니다. 우리의 인식은 결국 그 시대에 세계의 기초에 대해 물리학에서 발견하는 것의 산물입니다. 법칙이 있을 때는 초월적 신이 있고(중세의 아리스토텔레스적 물리학의 내재적 신과 달리), 입자가 있을 때는 신이 아닌 물질이 있습니다. 그리고 세계의 물리적 기초(끈 이론의 방향처럼)가 수학일 때는 신은 순수한 정신입니다.